Une flottabilité optimale

Un problème de géométrie spatiale

La mousse syntactique utilisée pour assurer la flottabilité du Nautile est composée de billes de verre creuses extrêmement résistantes de 200 microns de diamètre. Chaque bille a une densité de l'ordre de 0,4. Entre les billes, une résine de densité de 1,2 comble tous les interstices, et donne une cohérence à l'ensemble. Le matériau est disponible sous forme de "briques" pratiquement incompressibles, mais très légères.

Le problème est d'assurer une flottabilité maximale à cette brique, donc une densité minimale, donc une répartition spatiale optimale des billes (sur 3 dimensions).

Selon vous, quelle est cette répartition ? (celle où le volume de résine est minimal)

Quelle est la densité minimale que l'on peut donc obtenir ?

Quel gain obtient-on en flottabilité par rapport à la répartition suivante ? ( les billes de verre sont disposées aux angles d'un cube). Attention : le volume est supposé sans limite (et non pas limité à 3 rangs de billes comme dans le schéma ci-dessous)

Pour information, les fabricants de résine ont su améliorer les performances en fabriquant des billes de différentes tailles, permettant ainsi de réduire encore le volume de résine.